O cientista e engenheiros guia para processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Capítulo 19: Filtros Recursivos Há três tipos de resposta de fase que um filtro pode ter: fase zero. Fase linear. E fase não linear. Um exemplo de cada um destes é mostrado na Figura 19-7. Conforme ilustrado em (a), o filtro de fase zero é caracterizado por uma resposta de impulso que é simétrica em torno da amostra zero. A forma real não importa, apenas que as amostras numeradas negativas são uma imagem espelhada das amostras numeradas positivas. Quando a transformada de Fourier é tomada desta forma de onda simétrica, a fase será inteiramente zero, como mostrado em (b). A desvantagem do filtro de fase zero é que ele requer o uso de índices negativos, o que pode ser inconveniente trabalhar com. O filtro de fase linear é uma maneira de contornar isso. A resposta ao impulso em (d) é idêntica à mostrada em (a), excepto que foi deslocada para utilizar apenas amostras positivas numeradas. A resposta ao impulso ainda é simétrica entre a esquerda e a direita, no entanto, a localização da simetria foi deslocada de zero. Esta mudança resulta na fase, (e), sendo uma linha reta. Representando o nome: fase linear. A inclinação dessa linha reta é diretamente proporcional à quantidade da mudança. Uma vez que a mudança na resposta ao impulso não produz nada, mas produz uma mudança idêntica no sinal de saída, o filtro de fase linear é equivalente ao filtro de fase zero para a maioria dos propósitos. A figura (g) mostra uma resposta de impulso que não é simétrica entre a esquerda e a direita. Correspondentemente, a fase, (h), não é uma linha reta. Por outras palavras, tem uma fase não linear. Não confunda os termos: fase não-linear e linear com o conceito de linearidade do sistema discutido no Capítulo 5. Embora ambos usem a palavra linear. Eles não estão relacionados. Por que alguém se importa se a fase é linear ou não As figuras (c), (f) e (i) mostram a resposta. Estas são as respostas de pulso de cada um dos três filtros. A resposta de pulso não é nada mais do que uma resposta de passo positiva, seguida por uma resposta de passo negativa. A resposta de pulso é usada aqui porque exibe o que acontece com ambas as bordas ascendentes e descendentes em um sinal. Aqui está a parte importante: filtros de fase zero e linear possuem bordas esquerda e direita que parecem iguais. Enquanto filtros de fase não-lineares têm bordas esquerda e direita que parecem diferentes. Muitas aplicações não podem tolerar as bordas esquerda e direita procurando diferente. Um exemplo é a exibição de um osciloscópio, onde essa diferença pode ser mal interpretada como uma característica do sinal que está sendo medido. Outro exemplo é o processamento de vídeo. Você pode imaginar ligar sua TV para encontrar a orelha esquerda de seu ator favorito procurando diferente de sua orelha direita É fácil fazer um filtro FIR (resposta de impulso finito) tem uma fase linear. Isso ocorre porque a resposta ao impulso (kernel do filtro) é especificada diretamente no processo de design. Fazer com que o kernel do filtro tenha simetria esquerda-direita é tudo o que é necessário. Este não é o caso dos filtros IIR (recursivos), uma vez que os coeficientes de recursão são o que é especificado, e não a resposta ao impulso. A resposta de impulso de um filtro recursivo não é simétrica entre a esquerda e a direita e, portanto, tem uma fase não linear. Os circuitos eletrônicos analógicos têm esse mesmo problema com a resposta de fase. Imagine um circuito composto de resistores e capacitores sentados em sua mesa. Se a entrada sempre foi zero, a saída também terá sido sempre zero. Quando um impulso é aplicado à entrada, os capacitores carregam rapidamente para algum valor e então começam a decrescer exponencialmente através dos resistores. A resposta ao impulso (isto é, o sinal de saída) é uma combinação destas várias exponenciais decrescentes. A resposta ao impulso não pode ser simétrica, porque a saída era zero antes do impulso, ea decomposição exponencial nunca atinge novamente o valor zero. Criadores de filtros analógicos atacam este problema com o filtro Bessel. Apresentado no Capítulo 3. O filtro Bessel é projetado para ter como fase linear possível, no entanto, está muito abaixo do desempenho dos filtros digitais. A capacidade de fornecer uma fase linear exata é uma clara vantagem dos filtros digitais. Felizmente, existe uma maneira simples de modificar filtros recursivos para obter uma fase zero. A Figura 19-8 mostra um exemplo de como isso funciona. O sinal de entrada a ser filtrado é mostrado em (a). A Figura (b) mostra o sinal depois de ter sido filtrado por um filtro de passa-baixa de um pólo. Como este é um filtro de fase não-linear, as bordas esquerda e direita não parecem iguais, são versões invertidas umas das outras. Conforme descrito anteriormente, este filtro recursivo é implementado começando na amostra 0 e trabalhando em direcção à amostra 150, calculando cada amostra ao longo do caminho. Agora, suponha que em vez de se mover da amostra 0 para a amostra 150, começamos na amostra 150 e nos movemos em direção à amostra 0. Em outras palavras, cada amostra no sinal de saída é calculada a partir de amostras de entrada e saída à direita da amostra sendo trabalhada em. Isso significa que a equação de recursão, Eq. 19-1, é alterado para: A figura (c) mostra o resultado desta filtragem inversa. Isto é análogo a passar um sinal analógico através de um circuito RC eletrônico enquanto tempo de funcionamento para trás. Filtragem no sentido inverso não produz qualquer benefício em si mesmo o sinal filtrado ainda tem bordas esquerda e direita que não se parecem. A magia acontece quando a filtragem para frente e para trás é combinada. A figura (d) resulta da filtragem do sinal na direcção de avanço e depois filtragem novamente na direcção inversa. Voila Isso produz um filtro recursivo de fase zero. De fato, qualquer filtro recursivo pode ser convertido em fase zero com esta técnica de filtragem bidirecional. A única penalidade para este desempenho melhorado é um fator de dois no tempo de execução e na complexidade do programa. Como você encontra as respostas de impulso e freqüência do filtro global A magnitude da resposta de freqüência é a mesma para cada direção, enquanto as fases são opostas no sinal. Quando as duas direções são combinadas, a magnitude torna-se quadrada. Enquanto a fase cancela para zero. No domínio do tempo, isto corresponde à convolução da resposta de impulso original com uma versão invertida da esquerda para a direita de si mesma. Por exemplo, a resposta de impulso de um filtro passa-baixo de um único pólo é uma exponencial unilateral. A resposta ao impulso do filtro bidirecional correspondente é uma exponencial unilateral que se decompõe para a direita, convertida com uma exponencial unilateral que decai para a esquerda. Passando pela matemática, isso acaba por ser uma exponencial de dupla face que decai tanto para a esquerda quanto para a direita, com a mesma constante de decaimento que o filtro original. Algumas aplicações apenas têm uma parte do sinal no computador em um determinado momento, como sistemas que alternadamente entrada e saída de dados em uma base contínua. A filtragem bidireccional pode ser usada nestes casos combinando-a com o método de sobreposição-adição descrito no último capítulo. Quando você chega à questão de quanto tempo a resposta ao impulso é, não diga infinito. Se você fizer isso, você precisará preencher cada segmento de sinal com um número infinito de zeros. Lembre-se de que a resposta ao impulso pode ser truncada quando se decompõe abaixo do nível de ruído de arredondamento, isto é, cerca de 15 a 20 constantes de tempo. Cada segmento terá de ser preenchido com zeros tanto na esquerda como na direita para permitir a expansão durante a filtragem bidirecional. boy, PeterK. Não posso imaginar um filtro verdadeiramente linear e causal que seja verdadeiramente IIR. Não consigo ver como você conseguiria simetria sem que a coisa fosse FIR. E, semanticamente, eu chamaria um IIR truncado (TIIR) um método de implementação de uma classe de FIR. E então você não vai ter uma fase linear a menos que você com a coisa filtfilt com ela, em bloco, sorta como Powell-Chau. Ndash robert bristow-johnson Nov 26 15 at 3:32 Esta resposta explica como funciona filtfilt. Ndash Matt L. Nov 26 15 às 7:48 Um filtro de média móvel de fase zero é um filtro FIR de comprimento ímpar com coeficientes onde N é o comprimento do filtro (ímpar). Uma vez que hn tem valores não nulos para nlt0, não é causal e, consequentemente, só pode ser implementado adicionando um atraso, isto é, tornando-o causal. Observe que você não pode simplesmente usar a função Filtfilt do Matlabs com esse filtro porque, mesmo que você obtivesse a fase zero (com um atraso), a magnitude da função de transferência de filtros fica ao quadrado, correspondendo a uma resposta de impulso triangular Amostra atual recebem menos peso). Resposta de Freqüência do Filtro de Média Corrente A resposta de freqüência de um sistema LTI é a DTFT da resposta de impulso. A resposta de impulso de uma média móvel de L-amostra é. Uma vez que o filtro de média móvel é FIR , A resposta de freqüência reduz à soma finita Podemos usar a identidade muito útil para escrever a resposta de freqüência como onde temos deixado ae menos jomega. N 0 e M L menos 1. Podemos estar interessados na magnitude desta função para determinar quais freqüências passam pelo filtro sem atenuação e quais são atenuadas. Abaixo está um gráfico da magnitude desta função para L 4 (vermelho), 8 (verde) e 16 (azul). O eixo horizontal varia de zero a pi radianos por amostra. Observe que, em todos os três casos, a resposta de freqüência tem uma característica de passagem baixa. Uma componente constante (frequência zero) na entrada passa através do filtro sem ser atenuada. Determinadas frequências mais elevadas, tais como pi 2, são completamente eliminadas pelo filtro. No entanto, se a intenção era projetar um filtro lowpass, então não temos feito muito bem. Algumas das freqüências mais altas são atenuadas apenas por um fator de cerca de 110 (para a média móvel de 16 pontos) ou 13 (para a média móvel de quatro pontos). Podemos fazer muito melhor do que isso. O gráfico acima foi criado pelo seguinte código Matlab: omega 0: pi400: pi H4 (14) (1-exp (-iomega4)) (1-exp (-iomega)) H8 (18) (1-exp (- (1-exp (-iomega)) (1-exp (-iomega)) traço (omega, abs (H4) abs (H8) abs ( H16)) eixo (0, pi, 0, 1) Cópia de direitos autorais 2000 - Universidade da Califórnia, Berkeley
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